Cyclic Group

定义 Definition

循环群：抽象代数中的一种群，由单个元素生成；也就是说，群中每个元素都可以写成某个元素 (g) 的幂（在加法记号下为整数倍）：(\langle g\rangle={g^n\mid n\in\mathbb Z})。循环群可以是有限的（如 (\mathbb Z_n)）或无限的（如 (\mathbb Z)）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈsaɪklɪk ɡruːp/

例句 Examples

A cyclic group can be generated by a single element.
循环群可以由一个元素生成。

Every subgroup of a cyclic group is itself cyclic, which makes cyclic groups especially easy to classify.
循环群的每个子群仍然是循环群，这使得循环群特别容易分类研究。

词源 Etymology

cyclic 来自希腊语 kyklos，意为“圆、循环”，通过拉丁语与法语进入英语，表达“按周期重复”的概念；group 在数学语境中指“具有某种运算结构的一组对象”。“cyclic group”直译即“具有循环生成性质的群”。

相关词 Related Words

• Abelian
• Generator
• Group
• Order
• Subgroup
• Homomorphism
• Isomorphism
• Permutation

文学与著作中的用例 Literary Works

• Abstract Algebra（David S. Dummit & Richard M. Foote）：在群论基础部分用循环群作为核心例子，讨论生成元、阶与子群结构。
• A First Course in Abstract Algebra（John B. Fraleigh）：以循环群引入同构、子群与商群等概念。
• Contemporary Abstract Algebra（Joseph A. Gallian）：在初学者友好的叙述中频繁使用循环群进行定理说明与练习。